真空包装鸡肉早餐肠中细菌总数生长预测模型的
拟合优度比较

陈 睿，徐幸莲*，周光宏，王 鹏

（南京农业大学 教育部肉品加工与质量控制重点实验室，江苏 南京 210095）

摘 要：为比较不同生长预测模型对真空包装鸡肉早餐肠中细菌总数生长情况的拟合效果，观察在不同贮藏温度（2～15 ℃）下，使用Baranyi、修正的Gompertz及修正的Logistic模型分别描述细菌总数随时间变化的情况，以及使用Arrhenius方程与平方根模型描述一级模型所得参数随温度变化的情况。通过计算各模型的评价参数（均方误差平方根RMSE、回归系数R2、赤池信息准则与贝叶斯信息准则），参考模型所得特征值及货架期残差值，评价各模型的拟合优度，寻找最优组合。结果表明：Baranyi模型所得方程的评价参数最优，最大比生长速率（μmax）最大，所得产品货架期残差值较小；应用修正的Gompertz模型更有利于优化二级模型评价参数；而修正的Logistic模型拟合所得初始菌数N0值偏小，且将15 ℃贮藏组延滞时间λ计算为负值。因此Baranyi模型的拟合优度最高，其次为修正的Gompertz模型，最后为修正的Logistic模型。应用Arrhenius方程与平方根模型均能够成功拟合，但未能得出拟合更优者。

关键词：预测模型；拟合优度；温度；比较

Goodness-of-Fit Comparison of Growth Models for the Total Bacterial Count in Vacuum-Packaged
Chicken Breakfast Sausage

CHEN Rui, XU Xing-lian*, ZHOU Guang-hong, WANG Peng

(Key Laboratory of Meat Processing and Quality Control, Ministry of Education, Nanjing Agricultural University, Nanjing 210095, China)

Abstract: In order to compare the goodness-of-fit of growth models for the total bacterial count in vacuum-packaged chicken breakfast sausage, the primary models Baranyi, modified Gompertz and modified Logistic, and the secondary models Arrhenius and square root equations were chosen for conducting following studies, respectively. They were compared by calculating their indices (such as root mean square error (RMSE), R2, Akaike information criterion and Bayesian information criterion), and the characteristic values and residuals of the shelf life model. Results showed that the Baranyi model exhibited the best performance indices and the highest maximum specific growth rate (μmax) and provided smaller shelf life residuals, while the modified Gompertz model was better in optimizing the secondary model and the modified Logistic model presented the wrong characteristic values. Thus the goodness-of-fit of the Baranyi model was the best, followed by the modified Gompertz model, and the modified Logistic model showed the worst goodness-of-fit. The comparison of Arrhenius equation and square root equation did not draw a conclusion.

Key words: prediction model; goodness-of-fit; temperature; comparison

中图分类号：TS251.55 文献标志码：A 文章编号：1002-6630（2014）15-0113-05

doi:10.7506/spkx1002-6630-201415023

微生物生长预测模型通过拟合软件，根据产品中微生物数量变化状况可建立数学模型来描述微生物生长。预测模型可分为一级模型、二级模型与三级模型[1]。其中一级模型为微生物生长模型，二级模型为微生物生长动力学模型，三级模型则是整合了一级模型与二级模型的应用软件。微生物生长预测模型的建立不仅能够监控产品在流通贮藏期的微生物生长情况，还可为产品货架期预测模型建立提供重要依据，在食品生产与流通等领域具有广泛的应用前景。

由于各级模型的函数种类繁多，而对于不同的产品及细菌种类，不同的函数拟合结果有所差异，而拟合优度[2]（goodness-of-fit）可通过比较模型均方误差平方根（root mean square error，RMSE），回归系数R2，赤池信息准则（Akaike information criterion，AIC），与贝叶斯信息准则（Bayesian information criterion，BIC）[3]等数值描述这些差异，从而对拟合模型的优劣程度进行评价。通过比较不同模型函数的拟合优度，选择适合产品的预测模型函数十分重要。关于模型的拟合优度评价方法，国外已有许多经验，如Slongo等[4]分析了回归系数R2、均方误差MSE、偏差因子Bf与准确因子Af的变化；Juneja等[5]比较了均方差、皮尔逊系数、BIC及AIC等数值的差异；Mataragas等[2]计算了残差平方根和回归系数等。但目前国内关于预测模型拟合优度的比较研究主要以畜禽生长曲线为对象，缺乏以微生物生长曲线为对象的比较研究[6-9]。

本实验以鸡肉早餐肠在2～15 ℃贮藏中细菌总数的变化情况为研究对象，通过计算模型特征值、影响因子及货架期预测残差值，分别比较修正的Gompertz模型、修正的Logistic模型和Baranyi模型的拟合优度；通过计算模型特征值与影响因子，分别比较平方根模型、Arrhenius方程的拟合优度，为产品选择适合的预测模型函数，从而为估测产品货架期提供更有效的帮助。

1 材料与方法

1.1 材料与试剂

鸡肉早餐肠由江苏某大型肉食品公司提供，100 g/袋真空包装。

氯化钠（分析纯） 南京化学试剂有限公司；平板计数琼脂、无菌拍打袋 北京陆桥技术有限责任公司。

1.2 仪器与设备

HVE-50型高温高压灭菌锅 日本株式会社平山制作所；MP5002型电子天平 上海舜禹恒平科学仪器有限公司；SPK-250B-Z型生化培养箱 上海博迅实业有限公司医疗设备厂；DHC-964385-Ⅲ型电热鼓风干燥箱 上海新苗医疗器械制造有限公司；SW-CJ-2FD型洁净工作台 苏净安泰公司；拍打器、Scan1200型自动影像分析菌落计数仪 法国Intersicence公司；移液器 德国Eppendorf 公司。

1.3 细菌总数计数

无菌操作准确称取2、6、10、15 ℃贮藏的样品各25 g，移入无菌拍打袋，向拍打袋中加入225 mL已灭菌0.85 g/100 mL的生理盐水，封口放入拍打器中，以中高速拍打2 min。取1 mL菌液进行10 倍梯度稀释，选择3 个合适的稀释梯度，每个梯度做3 个重复，倾注平皿（平板计数琼脂）。倒置平皿，于37 ℃培养箱放置48 h。使用菌落计数仪进行计数。

1.4 数据处理

采用Microsoft Excel进行数据整理，采用软件Origin 9.0
拟合模型的方程，采用软件SPSS Statistic 20.0进行单因素方差分析（最小显著差异法）。

1.5 一级模型的拟合

一级模型主要描述在特定环境或培养基条件下，微生物数量与时间变化的关系。根据一级模型拟合得到的方程可推算得出微生物生长动力学相关参数，包含最大生长速率、迟滞时间、初始微生物数量以及最大微生物数量。

1.5.1 修正的Gompertz模型

Gompertz模型属于经验模型，是美国农业部开发的病原菌模型程序（pathogen modeling program，PMP）和英国农业、渔业和食品部开发的食品微型模型 （food micromodel，FM）的基础模型。其函数表达式为[10]：

（1）

式中：N（t）是t时的微生物数量（lg（CFU/g））；A是当时间无限趋近于零时的渐进对数值（相当于初始微生物数量）（lg（CFU/g））；B是达到稳定期时达到的最大微生物数量（lg（CFU/g））；μ是在t = M时的相对最大生长速率/d-1；M是达到相对最大生长速率所需要时间/d。

根据以下公式，计算初始微生物数量N0，最大微生物数量Nmax，最大比生长速率μmax 与迟滞时间λ：

（2）

（3）

（4）

（5）

式中：μmax是最大比生长速率/d-1；e = 2.7182；λ是迟滞时间/d。

1.5.2 修正的Logistic模型

修正的Logistic模型表达式为[10]：

（6）

式中：N（t）是t时的微生物数量（lg（CFU/g））；A是当时间无限趋近于零时的渐进对数值（相当于初始微生物数量）（lg（CFU/g））；B是达到稳定期时达到的最大微生物数量（lg（CFU/g））；μ是在t = M时的相对最大生长速率/d-1；M是达到相对最大生长速率所需要的时间/d。

根据以下公式，计算初始微生物数量N0，最大微生物数量Nmax，最大比生长速率μmax 与迟滞时间λ：

（7）

（8）

（9）

（10）

式中：μmax 是最大比生长速率/d-1；λ是迟滞时间/d。

1.5.3 Baranyi模型

Baranyi模型属于理论模型，是英国食品与环境研究院（the Food and Environment Research Agency，FERA）开发的Growth Predictor的基础模型，其函数表达式[11]为：

（11）

式中：N（t）是t时的微生物数量（lg（CFU/g））；N0是t = 0时的初始微生物数量（lg（CFU/g））；Nmax是稳定期时达到的最大微生物数量（lg（CFU/g））；μmax为微生物生长的最大比生长速率/d-1；d0是最大比生长速率μmax与迟滞时间λ的乘积；t是时间/d。

1.6 二级模型的拟合

二级模型主要描述温度等因素对微生物生长动力学参数的影响。

1.6.1 Arrhenius模型

Arrhenius模型[12]表达式如下：

（12）

式中：aμ是常数；Ea是活化能；R = 8.314 J /（mol•K）；
T是开氏温度/K。

1.6.2 平方根模型

平方根模型[13]表达式如下：

（13）

式中：T是贮藏温度/℃；Tminμ为假设概念，指理论上微生物细胞能够代谢的最低温度/℃；bμ是回归直线的斜率/（（d-1）1/2/℃）。

1.7 以比较参数进行的模型评价

使用均方误差平方根RMSE、回归系数R2[5,14-15]、赤池信息准则（AIC）与贝叶斯信息准则（BIC）[3]评价模型的拟合优度，以比较不同模型的拟合效果。其中RMSE、AIC与BIC值越小说明拟合优度越高，R2则是越接近1拟合优度越高。各参数表达式如下：

（14）

（15）

（16）

（17）

式中：RSS是残差平方和；n是数据点数量；Oi是第i个数据点的实测观察值；Pi是第i个数据点的预测值；m是平均值；p是模型的特征值数量，即自变量个数。

1.8 以比较货架期进行的模型评价

通过比较表达式（18）所计算的预测值货架期（shelf life，SL）与实测值（最小腐败量N（t）=6.5（lg（CFU/g））时的t值）的残差值，可得出货架期预测模型的准确度。由于以不同的一级模型为基础所计算的实测值与预测值均不同，所预测的货架期准确度有所差异，可据此比较各一级模型的拟合优度。

在生长动力学模型的基础上，SL以初始菌数增加到最小腐败量所需要的时间来预测[18]。模型表达式如下：

（18）

式中：SL是货架期/d；Namax是各温度下样品最大菌数的平均值（lg（CFU/g））；Ns为最小腐败量菌数（lg（CFU/g））。

2 结果与分析

2.1 一级模型的比较

表 1 使用不同一级模型拟合所得特征值的比较

Table 1 Eigenvalue comparison of the different primary models used for fitting the experimental data

项目		温度/℃				±s
		2	6	10	15
N0（lg（CFU/g））	mGM	2.38	2.39	2.27	2.13	2.29±0.13a
	mLM	2.19	2.05	1.75	1.42	1.85±0.34b
	BM	2.32	2.32	2.25	2.22	2.28±0.29a
Nmax（lg（CFU/g））	mGM	7.17	7.01	7.63	7.52	7.33±0.29A
	mLM	6.96	6.89	7.47	7.34	7.16±0.28A
	BM	6.88	6.84	7.36	7.19	7.07±0.25A
μmax/d-1	mGM	0.16	0.19	0.24	0.30
	mLM	0.16	0.19	0.24	0.30
	BM	0.19	0.21	0.25	0.32
λ/d	mGM	13.58	7.18	4.07	1.54
	mLM	13.08	5.45	1.89	－0.89
	BM	15.88	8.56	4.84	2.35

注：mGM. 修正的Gompertz模型；mLM. 修正的Logistic模型；BM. Baranyi模型。同列字母不同表示差异显著（P＜0.05）。

表1是使用修正的Gompertz模型（mGM）、修正的Logistic模型（mLM）与Baranyi模型（BM）对实验数据进行拟合所得的特征值。其中，mLM所得N0值的平均值（1.851 7（lg（CFU/g）））明显小于mGM与BM
（P＜0.05），并且与实测值（2.371 1（lg（CFU/g）））相差较大；3 个模型所得Nmax值的平均值无显著差异（P＞0.05）。

由表1可知，在不同温度下，mGM与mLM所得最大比生长速率μmax较为接近，均小于BM，这是由于在描述微生物生长由延滞期进入对数期的变化时，mGM与mLM函数的拐点较平滑，计算所得对数期初始生长速率偏大，导致最大比生长速率μmax偏小。不同模型所得延滞时间λ的数值差异较大，其中mLM将15 ℃贮藏组所得的延滞时间计算为负值，但微生物生长的延滞期λ不可能为负值，由此得出使用mLM拟合失败。

表 2 不同一级模型拟合结果评价参数的比较

Table 2 Statistical indices comparison of the different primary models used for fitting the experimental data

由表2可知，对于所有贮藏组，与mGM相比，BM所得方程的RMSE值均较小，R2值更接近于1，而且BIC、AIC值均较小，结合参数属性能够说明，在这3 种一级模型中，BM所得方程的评价参数较优，即拟合优度较高。

2.2 二级模型的比较

表 3 不同二级模型拟合结果的评价参数

Table 3 Statistical indices of the different secondary models used for fitting the experimental data

表3是使用2 种二级模型，针对不同一级模型拟合所得的统计学数据。Arrhenius模型与平方根模型均拟合成功。与平方根模型相比，Arrhenius模型拟合所得R2值更接近1，但RMSE值较小，而AIC值与BIC值的差异较小，无法得出哪个模型拟合优度更高。

由表3还可知，相较于BM，二级模型拟合时使用来自mGM的生长数据所得的R2稍接近1，RMSE值稍小，AIC与BIC值亦较小，说明这3 种一级模型中，应用mGM对优化特定二级模型（Arrhenius及平方根模型）的评价参数比较有利。

2.3 以比较货架期进行的模型评价

表 4 使用不同模型所得鸡肉早餐肠货架期

Table 4 Shelf life (SL) of breakfast chicken sausage in days estimated by using different models

注：此处实测值选择各模型N（t）=6.5（lg（CFU/g））时的t值。

由表4可知，BM所得残差值均在1 d左右，而mGM在6 ℃条件下的残差值超过2 d，说明用于估测本产品货架期时，BM优于mGM。

3 讨 论

微生物生长曲线形状与模型几何特征均对拟合优度有影响[16]，Baranyi方程包含四部分：常数项、线性函数、指数函数及对数函数；Gompertz模型与Logistic模型均为S型曲线，分为渐增期、快增期与缓增期[17]。这使得拟合所得的特征值有所差异。

本实验对于真空包装鸡肉早餐肠贮藏期间细菌总数变化的数学模型建立进行了研究，经分析后认为一级模型中Baranyi模型拟合优度最高，其次为修正的Gompertz模型，最后为修正的Logistic模型；二级模型中Arrhenius模型与平方根模型均能够成功拟合。目前已有的研究结果中对Baranyi模型及Gompertz模型的比较结论存在差异，而Logistic模型则被普遍认为次优。其中Slongo等[4]比较了修正的Gompertz模型与修正的Logistic模型的拟合结果，认为前者拟合优度更高；Juneja等[5]使用几种不同模型拟合沙门氏菌在鸡肉贮藏中的变化情况，结果表明Baranyi模型拟合优度高于修正的Gompertz模型与Logistic模型；Xiong等[18]认为Baranyi模型比修正的Gompertz模型拟合优度高，拟合结果更稳定；这些报道均与本实验研究结论相同，可能原因是Gompertz模型的S型曲线中不存在线性线段，但微生物的对数期变化轨迹呈现较好的线性，且S型曲线中的渐增期与微生物实际生长中存在的延滞期不符，出现了延滞期较短的对象。而Baranyi[5,11,19]方程以微生物生长的微分方程dM/dt = μM作为基础模型，即是在理解了微生物生长规律后建立的，能够从数学角度克服Gompertz模型存在的缺陷。但是，Mataragas等[2]对熟制肉中特定腐败菌的生长情况进行拟合，认为修正的Gompertz模型拟合优度高于Baranyi模型及修正的Logistic模型，与本实验结果不一致，这可能与微生物种群、环境及食品基质条件的差异有关[20]。

4 结 论

针对真空包装鸡肉早餐肠贮藏期的微生物生长状况，以评价参数（RMSE、R2、AIC、BIC）为主要参考值，特征值及货架期残差值为辅助参考值，对不同预测模型的拟合优度进行了比较。其中Baranyi模型所得方程的评价参数最优，最大比生长速率μmax最大，所得产品货架期残差值较小；应用修正的Gompertz模型更有利于优化二级模型评价参数；而修正的Logistic模型拟合所得初始菌数N0值偏小，且将15 ℃贮藏组延滞时间λ计算为负值。因此Baranyi模型拟合优度最高，其次为修正的Gompertz模型，修正的Logistic模型拟合优度最低，与大多已知研究结论一致。但Arrhenius模型与平方根模型均能够成功拟合，未得出拟合优度更高者。

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